Формы представления частного в операциях деления

Общее представление о делении натуральных чисел

В рамках этого материала мы разберем важное действие, называемое делением. Дав общее представление о нем и объяснив его смысл, мы введем основные термины и обозначения на письме. В последнем пункте мы расскажем, для решения каких задач нам пригодится умение делить натуральные числа.

Что такое деление натуральных чисел

Само по себе понятие деление неразрывно связано с процессом разъединения некоторого множества предметов на несколько отдельных множеств.

Объясним на примере.

В быту мы часто употребляем слова»делиться», «поделиться», например, поделиться угощением с друзьями. Это слово означает, что угощение мы поделили на некоторые части и отдали часть одним людям, а часть другим (или оставили себе). С помощью этого простого примера деление можно представить как последовательное вычитание из одного большого множества. Что такое вычитание и как его выполнять, мы уже разбирали с вами ранее.

Проще всего понять процесс деления на равные части. У нас есть исходное множество, которое возможно разделить на некоторое количество одинаковых множеств. Например, мы разделили конфеты между друзьями так, что у каждого стало, например, по 5 . Тогда мы можем сказать, что поделили угощение поровну. В этом смысле деление обратно умножению (см. понятие об умножении натуральных чисел). Далее по ходу статьи мы будем разбирать только деление на равные части. Делению с остатком посвящен отдельный материал.

Основной смысл процесса деления

На основе того, что мы озвучили, можно придать определенный смысл делению одного натурального числа на другое (отдельно выделим число, которое делят, и то, на которое делят). Мы помним, что понятие натуральных чисел проще всего соотнести с количеством некоторых предметов. То число, которое необходимо поделить, выражает число предметов исходного множества. В зависимости от того, какой смысл мы придаем второму числу (т.е. тому, на которое делят), можно выделить два основных подхода к пониманию смысла деления. Возможны такие варианты:

1. Исходное число, на которое осуществляется деление, соотносится с количеством предметов в тех множествах, что мы получили в результате деления. Тогда полученное после деления число будет означать количество получившихся множеств. Например, мы разделили 10 конфет на кучки по 2 штуки в каждой. Поделив 10 на 2 , мы узнаем число кучек.

2. Исходное число, на которое мы делим, соответствует количеству получившихся множеств. Тогда результат деления будет показывать нам, сколько элементов входит в каждое такое множество. Вернувшись к примеру выше, мы увидим, что если 10 конфет разложить на 5 кучек, то число 2 , получившееся в итоге, соответствует количеству конфет в каждой кучке.

Разделить одно натуральное число на другое без остатка возможно далеко не всегда. Так, 10 конфет мы можем ровно разделить на 2 или 5 кучек, а на 3 нет, потому что в одном из множеств окажется отличное от других число конфет. Разложить 10 конфет по 15 или 20 кучкам мы также не в состоянии. Смысл таких действий объясняется в материале про деление с остатком.

Если мы можем поделить одно натуральное число на другое, то получившееся в итоге число также будет натуральным.

Основные понятия процесса деления

В этом пункте мы укажем основные обозначения и понятия, используемые в делении натуральных чисел.

Чтобы обозначить деление в записи, обычно используют знак двоеточия: « : ». Иногда можно встретить вместо него знак « ÷ », который означает то же самое. Первым мы записываем число, которое будем делить, потом знак деления, а потом число, на которое делим. Числовое выражение вида 10 : 5 означает, что мы делим десять на пять.

То число, которое делим, называем делимым. То, на которое делим – делителем. Итог вычислений правильно называть частным. Само числовое выражение, состоящее из делимого, делителя и знака деления, тоже называется частным.

В примере 30 : 6 натуральное число 30 – это делимое, 6 – делитель, а 5 , получившаяся в итоге, – частным.

Когда мы говорим о том, что нужно определить число, являющееся результатом деления одного натурального числа на другое, нужно использовать выражения «найти частное» или «вычислить частное».

Все вместе – делимое, делитель и частное со знаками деления и равенства – обычно записывается в виде равенства. Например, 5 является частным от деления 30 на 6 . Мы можем записать это так:

Запись читается как «тридцать разделить на шесть равно пяти» или «частное от деления тридцати на шесть равно пяти».

Схематично процесс деления можно отобразить как » делимое : делитель = частное.».

Задачи с применением деления

Приведем примеры задач, для которых нужно уметь делить одно натуральное число на другое.

1. Первый тип задач – это те, в которых нужно найти, сколько множеств получится после деления исходного множества на равные части, а также близкие к ним задачи на вычисление количества предметов в каждом множестве после деления. Ранее мы уже приводили примеры таких задач. Добавим еще несколько.

Допустим, у нас есть 40 ручек, которые нужно распределить поровну между 4 коробками. Как вычислить, сколько ручек положить в каждую из них?

Разделить 40 на 4 .

Ответ: 10

На ужин было приготовлено 12 котлет. Каждому члену семьи должно достаться по две. Сколько всего человек будут ужинать?

Разделим 12 на 2 .

Ответ: 6 .

2. Второй тип задач очень схож с первым, однако в них необходимо вычислить не количество предметов, а изменения физических величин (времени, температуры, длины и др.)

Например, у нас есть полная бочка молока объемом 100 л. Сколько надо взять двухлитровых бутылок, чтобы перелить туда все имеющееся молоко?

Для решения задачи нам надо разделить 200 на 2 .

Ответ: 100

30 -метровый шнур надо разрезать на 10 равных частей. Какой длины будет каждая из них?

Здесь опять же нам надо вычислить частное 30 : 10 .

Ответ: 3

3. Третий тип задач – это те, где нужно найти, во сколько раз уменьшилось исходное количество чего-либо, или выяснить, во сколько одно множество предметов или величина больше, чем другое. Например:

Планировалось построить дом площадью 120 кв м., но в итоге построили в два раза меньше. Какую площадь имеет в итоге построенный дом?

Для решения этой задачи нам нужно разделить 120 : 2 .

Ответ: 60

С одной яблони мы собрали 60 яблок, а с другой – в три раза меньше. Сколько яблок сорвали со второй яблони? Чтобы дать ответ на это вопрос, требуется разделить 60 на 3 .

Деление многозначного числа на однозначное — алгоритм и примеры решения

Не во всех случаях можно быстро выполнить операцию деления многозначного числа на однозначное без калькулятора. Специалисты рекомендуют воспользоваться специальным алгоритмом, но для этого требуется получить некоторые базовые знания, которые будут полезны не только для выполнения этой задачи, но и для решения других примеров по преобразованию чисел. Методики нет в учебниках, поскольку она позволяет эффективно и без ошибок найти частное.

Общие сведения

Деление — сложная операция математического характера, позволяющая найти один из множителей. Она имеет следующий вид: w: s=t, где w — делимое, s — делитель, t — частное. Далее необходимо ознакомиться с основными определениями ее компонентов.

Делимое — числовое значение, которое делится с остатком или без него на один из сомножителей. Делитель — некоторый коэффициент, необходимый для выполнения операции деления и представленный одним из сомножителей. Частное — результирующая величина деления двух или более чисел. Следует отметить, что операция обозначается символом: или /. Однако в математике для удобства применяется последняя форма представления.

Если рассмотреть определение, то s и t — сомножители, а w — их произведение. Деление, как и другую арифметическую операцию, возможно произвести в столбик. Однако для этого необходимы базовые знания. К ним относятся следующие:

  • Виды операций деления.
  • Признаки делимости двух чисел нацело.

    В математике не всегда при делении двух чисел получается целочисленное значение. Математики классифицируют операцию на два элемента:

    Читайте также  Быстрый ремонт светодиодной лампы
  • Нацело.
  • С остатком.

    В первом случае необходимо знать признаки делимости одного числа на другое. Это очень важно, поскольку иногда требуется сокращать дробные выражения, и обязательным условием данного действия является целочисленное деление на одно и то же значение.

    При выполнении операции деления с остатком признаки делимости не используются. Результат записывается в виде величины с указанием некоторого значения, которое меньше делителя. Далее необходимо подробно рассмотреть эти признаки.

    Признаки делимости величин

    Перед использованием признаков делимости чисел нужно понимать, что величины классифицируются на простые и составные. Первые делятся только на 1 и эквивалентное себе значение. Вторые могут содержать нескольких множителей. В последнем случае и необходимо использовать правила деления.

    Следует отметить, что для удобства специалисты рекомендуют составить письменную карточку с таблицей простых величин или распечатать ее при помощи принтера, предварительно загрузив из интернета. Правила делимости многозначного на однозначное число имеют следующий вид (делители соответствуют порядковому номеру списка):

  • Любое значение, т. е. 34/1=34.
  • Величина, заканчивающаяся четной цифрой.
  • Сумма цифр разрядной сетки должна делиться на тройку.
  • Сумма двух последних элементов делится на четверку.
  • Величина заканчивается на ноль или пятерку.
  • Сумма цифр делится на тройку, а также число является четным.
  • Число разбивается на разряды по три элемента (без последних), которые суммируются между собой. Она должна делиться на 7. Если величина имеет небольшое количество знаков (двузначная, трехзначная, четырехзначная или пятизначная), то нужно взять числа без последнего компонента разрядной сетки. Затем от них отнять удвоенное значение разряда единиц. Результат разности должен делиться на 7. Например, 259/7 -> 25−2*9=25−18=7 (делится).
  • Если выполняется условие для 2 и 4 одновременно.
  • Сумма компонентов разрядной сетки делится на девятку.
  • Величина заканчивается 0.

    Следует отметить, что реализация правила деления величины 45134412 на семерку выполняется следующим образом: | 45 | 134 | 412 =9+8+7=24 — не делится на 7. Применить способ для малого количества разрядов не получится, поскольку на вычисления будет затрачено много времени.

    Кроме того, на нуль делить нельзя, т. к. получается пустое множество. Если разделить 0 на любую величину, то результатом будет нулевое значение. Далее можно применить полученные знания для создания памятки простых чисел.

    Простые и составные значения

    В некоторых случаях не всегда возможно воспользоваться специальными таблицами простых чисел. Математики рекомендуют применить одну из методик, которая заключается в следующем:

  • Записать числовое значение.
  • «Прогнать» его по всем признакам делимости.
  • Сделать вывод.

    Второй пункт для новичков может показаться не совсем понятным. Однако он подразумевает, что нужно поочередно выполнить операцию для каждого правила. На практике реализация выглядит следующим образом:

  • 287.
  • На 2 не делится (-), поскольку 7 — нечетная цифра.
  • 3: 2+8+7=19 (-).
  • 4: 8+7=15 (-).
  • 5: (-), т. к. заканчивается не на 0 или 5.
  • 6: (-), поскольку во втором и третьем пунктах стоит -.
  • 7: 28−14=14 (+).
  • Вывод: не является простым, поскольку делится на 7.

    Следует отметить, что при получении одного множителя не имеет смысла продолжать операцию подбора, поскольку простое число только делится на 1 и само себя. Следовательно, искомая величина является составной. Далее необходимо разобрать операции деления на однозначное число для 4 класса.

    Методики деления

    Деление чисел бывает с остатком и без него. Следовательно, для каждого направления существует собственный алгоритм. Необходимо разобрать основные отличия методик. Если операция выполняется нацело, то обязательно нужно проверить условие, воспользовавшись признаками деления двух величин.

    При делении с остатком проверка по правилам делимости не требуется. Следует отметить, что данный тип операции применяется во многих дисциплинах. Примером одной из них является информатика. В ней используется перевод числа одной системы счисления (десятичной) в другую (двоичную, восьмеричную или шестнадцатеричную). Поэтому необходимо знать основной принцип и порядок применения алгоритма.

    Перед применением одной из методик рекомендуется ознакомиться с разрядной сеткой. Она представляется собой набор цифр, расположенных на определенных позициях. Например, величина 1473 состоит из следующих компонентов:

  • Тысячи: 1.
  • Сотни: 4.
  • Десятки: 7.
  • Единицы: 3.

    Следует отметить, что разложение на элементы начинается со старших разрядов, а затем заканчивается младшими. Это рекомендуется делать для того, что не допускать ошибок во время выполнения арифметических операций, таких как: сложение, произведение и вычитание. Кроме того, правильная запись пригодится при изучении более сложных дисциплин (информатики и программировании).

    Алгоритм целого частного

    Для выполнения операции деления в столбик нацело необходимо разбить число на разряды (по одному при однозначном делителе). Алгоритм рекомендуется рассматривать сразу на примере с величинами 1326 и 6. Он имеет такую реализацию:

  • Записать число: 1326.
  • Проверить его делимость на 6: 1+3+2+6=12 (+) и на 2 тоже.
  • Взять разряд тысяч: 1 Операция с остатком

    Операция получения частного двух чисел с остатком похожа на деление нацело, но есть некоторые особенности. Для этого необходимо рассмотреть ее алгоритм, который имеет такой вид:

  • Взять I старший разряд и сопоставить его с делителем. Если он больше, то подобрать соответствующий множитель. В противном случае — перенести следующий элемент разрядной сетки, а затем осуществить подбор сомножителя.
  • Записать первый разряд частного в графе результата.
  • Перенести вниз следующий разряд. При необходимости его можно дополнить еще одним элементом.
  • Подобрать следующий множитель, а затем умножить его на делитель.
  • Осуществить операцию разности между элементами на третьем шаге и четвертом.
  • При необходимости повторить операции, начиная с первого пункта методики и заканчивая пятым.
  • Выполнить проверку посредством произведения делителя на частное.

    Однако алгоритм необходимо реализовать на примере. Это выглядит следующим образом:

  • Необходимо разделить 1341 на 2.
  • Запись I неполного делимого: 1. Величина не подходит, поскольку 1 Математика Как найти точки перегиба функции — алгоритмы и примеры нахождения

    К вопросу о делении

    Нам подвернулась возможность провести небольшое, но крайне интересное тактическое учение

    В процессе исследований нового МК от известной фирмы на основе архитектуры Cortex-М4 (я об этом обязательно еще напишу) возник вопрос, насколько быстро может работать операция целочисленного деления в аппаратной реализации. Натурный эксперимент дал несколько неожиданный результат: деление 32-разрядного числа на 32-разрядное выполняется за 3 такта частоты процессора — ну ни фига ж себе, как быстро. Выяснилось, что это имеет место только с определенными операндами, но дальнейшие исследования показали, что никогда время выполнения деления не превосходит 7 тактов. Полученные результаты вызвали легкую оторопь («и это не некая фигура речи, которая неизвестно что означает, а вполне конкретный глагол» — Дивов, как всегда, бесподобен).

    Ну нельзя же просто так взять и быстро поделить такие длинные числа, странно как то, но факты — упрямая вещь. Представил себе картину, что вызывает меня завтра к себе Президент РФ и ставит передо мной задачу сделать МК не хуже, чем у ARM (согласен, что картина бредовая, но чего на свете не бывает), а я растеряно на него гляжу и понимаю, что не смогу сделать такое деление таких чисел за такое время, и не оправдаю ожиданий, на меня возлагаемых (ну на самом то деле я всегда смогу втихую купить лицензию у ARM, и сделать вид, будто бы придумал все сам, многие так и делают, но от меня то ВВП ждет совсем другого, да и потом — его то я обмануть смогу, а вот себя вряд ли).

    И стало мне грустно, что в ARM сидят ребята намного умнее меня, и пошел я с тоской во взоре подглядеть в Инете, как они это делают. На сайте ARM никакой информации по времени исполнения не нашел, в одном из материалов по STM32 было указано, что деление занимает от 2 до 7 тактов, что соответствует наблюдениям, но информации о том, как это делается, нет.

    В общем, Инет всемогущий особо не помог, есть трюки с делением на константу, сам о них писал в одном из постов, но у нас иная ситуация, есть алгоритм Ньютона и ускоренная его версия, но это явно не по делу, есть алгоритм на основе преобразования Фурье, но это для очень больших чисел и вряд ли выполнится за 7 тактов даже на архитектуре ARM. Пришлось придумывать самому и решение было найдено, причем настолько простое и очевидное, что становится несколько неловко от того, что это не было сделано мгновенно после формулировки задачи.

    Читайте также  Кодовый замок для гаража

    Прежде, чем смотреть мое решение, предлагаю Вам найти свое самостоятельно, а потом сравните с моим, и, если они отличаются то жду Вас в комментариях.

    Итак, как нам быстро (не более, чем за 7 тактов) поделить два 32-разрядных числа с получением 32-разрядного результата.

    Для начала вспомним, как вообще осуществляется деление в двоичной арифметике в
    классической форме. Алгоритм достаточно прост и понятен — вычитаем делитель из делимого. Если результат неотрицателен (делим без-знаковые числа), то очередной разряд результата делаем равным единице и результат рассматриваем, как следующее делимое, в противном случае очередной бит результата равен 0. Перед следующим тактом уменьшаем делитель в два раза (либо сдвигаем его вправо, либо сдвигаем влево делимое) и уменьшаем вес бита в 2 раза (аналогичными сдвигами). Таким образом, мы получаем за один такт один бит результата и вся операция продлится 32 такта. В этом процессе есть еще начальный сдвиг, но на оценку ситуации в целом он не влияет. Будем ускорять, но как?

    Обратим внимание, что полученный алгоритм сильно напоминает работу АЦП с последовательным приближением и вспоминаем, что есть и другой метод преобразования, намного более быстрый — параллельное преобразование. А что, если…

    Будем вычитать из делителя не только делимое, но и делимое*2 и делимое*3 (одновременно, на трех сумматорах), тогда мы получим три бита (знаки результатов) информации, которые принимают 4 различных значения, значит из них можно извлечь сразу 2 бита результата. Далее экстраполируем подобный подход для 3,4,5 бит результата.
    Чтобы получить 5 бит информации за один такт, нам потребуется 31 сумматор, на каждом из которых будет выполняться операция Делимое-Делитель*н(1-31), знаки результата пропускаем через шифратор и получаем сразу 5 бит результата. Затем сдвигаем делимое на 5 разрядов влево и повторяем до готовности. Тогда нам потребуется 32/5=6.4=>7 тактов для полного завершения операции.

    Для работы нам потребуется 31+х сумматоров, вроде бы немало, но они у нас уже есть, ведь у нас есть операция умножения 32*32 за один такт, а для ее реализации без 32 сумматоров не обойтись (ну я так думаю . ), так что необходимая аппаратура у нас уже имеется, вопрос только в построении схемы контроля и кучи мультиплексоров для реализации быстрого сдвига, но это вполне решаемо.

    Так что задача поделить за 7 тактов решена, остается вопрос – как можно ли сократить данное время, ведь в исследуемом МК оно бывает меньше 7. Напрашивающееся решение — на этапе подготовки алгоритма определить номер старшего значащего разряда делимого (Ч) и делителя (З) и сразу станет ясно, сколько старших битов частного равны нулю, так что мы можем пропустить первую либо несколько фаз алгоритма. Например, если Ч

    Формы представления частного в операциях деления

    Следующий слой выразительных средств языка – средства обработки данных. Это – набор элементарных действий (операций) и их сочетаний (выражений), который позволяет изменять значения переменных. К ним относятся:

    · традиционные операции над переменными (например, арифметические, логические, поразрядные);

    · вызов процедур и функций.

    Для начала – немного терминологии:

    · операция – элементарное действие по обработке данных (по работе с переменными);

    · операнд — переменная, константа, выражение, участвующие в операции;

    · унарная операция — операция с одним операндом;

    · бинарная операция — операция с двумя операндами;

    · выражение – элемент синтаксиса с описанием последовательности выполнения операций и их операндов, в котором результат одной операции является операндом другой.

    Если посмотреть полный перечень операций в Си, то первое, что бросается в глаза, это их многочисленность. Второе (уже упомянутое), что к операциям относятся такие действия, которые в других языках программирования считаются операторами (например, присваивание). И третье, что все они имеют очень «компактный» синтаксис, т.е. при пропуске или добавлении лишнего символа одна операция превращается в другую. Все это требует внимательного и осознанного отношения к операциям в Си. Перечислим их особенности:

    · операции разбиты на 16 групп по приоритетам их выполнения;

    · большинство операций совместимо по результатам. Это значит, что результат любой операции может быть операндом любой другой операции, то есть их можно комбинировать между собой как угодно, даже в самых «диких» сочетаниях;

    · в Си отсутствует понятие логического (булевого) типа «истина-ложь». Для его представления используются значения целой переменной: 0 –«ложь», 1 (или любое отличное от нуля значение) – «истина»;

    · в некоторых операциях возможно изменение значений участвующих в ней операндов;

    Действие и результат

    «Борьбу с пьянством прекратить,

    ибо это – не борьба, и это — не результат».

    Обычно результат операции представляет собой новое, самостоятельное значение, которое затем может использоваться в качестве операнда в последующих операциях. Входные операнды при этом остаются без изменения. В Си схема может быть сложнее — операнды некоторых операций могут изменяться в процессе ее выполнения. Самый простой пример — операция присваивания:

    a = b; // Действие над операндом: переменная a получает значение переменной b

    // Результат: значение переменной a после присваивания

    Наличие в операции результата позволяет использовать ее в контексте (окружении) других операций, например:

    c = (a = b) + 5; // Эквивалентно a = b; c = a + 5;

    Более интересный случай представляют собой операции инкремента и декремента, в которых действие не совпадает с результатом, например:

    a++; // Действие над операндом: переменная a увеличивается нa 1

    // Результат: значение переменной до ее увеличения

    c = A[i++]; // Эквивалентно c = A[i]; i = i + 1;

    Преобразование типов операндов

    В выражениях в качестве операндов могут присутствовать переменные и константы разных типов (здесь и далее мы ограничимся пока только известными нам базовыми типами данных). Результат каждой операции также имеет свой определенный тип, который зависит от типов операндов. Если в бинарных операциях типы данных обоих операндов совпадают, то результат будет иметь тот же самый тип. Если нет, то транслятор должен включить в код программы неявные операции, которые преобразуют тип операндов, то есть выполнить приведение типов. Но прежде, чем изучать подробности таких преобразований, ответим на вопрос: «Где они могут происходить»?:

    · при выполнении операции присваивания, когда значение переменной или выражения из правой части запоминается в переменной в левой части;

    · при прямом указании на необходимость изменения типа данных переменной или выражения, для чего используется операция явного преобразования типа;

    · при выполнении бинарных операций над операндами различных типов, когда более «длинный» операнд превалирует над более «коротким», вещественное — над целым, а беззнаковое над знаковым.

    Преобразование типов может неявно включать в себя следующие действия:

    · преобразование целой переменной в переменную вещественную (с плавающей точкой) и наоборот;

    · увеличение или уменьшение разрядности машинного слова, то есть «усечение» или «растягивание» целой переменной;

    · преобразование знаковой формы представления целого в беззнаковую и наоборот.

    Возможные ошибки, возникающие при таких преобразованиях, никоим образом не фиксируются ни аппаратными средствами, ни исполнительной системой языка, т.е. остаются незамеченными. Поэтому здесь нужно быть особенно внимательным и при необходимости учитывать особенности представления данных во внутренней форме (см. 1.3).

    Уменьшение разрядности машинного слова всегда происходит путем отсечения старших разрядов числа. Заметим, что это может привести к ошибкам потери значащих цифр и разрядов:

    int n=1045; // Во внутреннем представлении n=0x00000415 (1024+16+5)

    char c; c = n; // Потеря значащих цифр (0x15)

    Увеличение разрядности приводит к появлению дополнительных старших разрядов числа. При этом способ их заполнения зависит от формы представления целого:

    · для беззнаковых целых заполнение производится нулями;

    · для целых со знаком они заполняются значением знакового (старшего) разряда.

    Читайте также  Блок управления вентиляторами компьютера

    Таким образом, при увеличении размерности целого его значение сохраняется (с учетом формы представления):

    int n; unsigned u;

    char c=0x84; n = c; // Значение n=0xFFFFFF84

    unsigned char uc=0x84; u = uc; // Значение u=0x00000084

    При преобразовании вещественного к целому происходит потеря дробной части, при этом возможны случаи возникновения ошибок переполнения и потери значащих цифр, когда полученное целое имеет слишком большое значение:

    double d1=855.666, d2=0.5E16;

    int n; n = d1; // Отбрасывание дробной части

    n = d2; // Потеря значимости

    Преобразование знаковой формы к беззнаковой не сопровождается изменением значения целого числа и вообще не приводит к выполнению каких-либо действий в программе. В таких случаях транслятор «запоминает», что форма представления целого изменилась:

    i nt n=-1; unsigned d;

    d = n ; // Значение d =0 xFFFFFFFF (-1)

    При выполнении бинарных операций принят следующий порядок:

    · если один из операндов – длинное целое ( long ), то второй также приводится к этому типу;

    · если один из операндов – беззнаковый ( unsigned), то второй также приводится к этому типу;

    · в конце концов остаются целые операнды, сохраняющие свой тип.

    Следует обратить внимание на одну тонкость: если в процессе преобразования требуется увеличение разрядности переменной, то на способ ее «удлинения» влияет только наличие или отсутствие знака у самой переменной. Второй операнд, к типу которого осуществляется приведение, на этот процесс не влияет (принятые в примерах размерности short – 16 разрядов, int – 32 разряда):

    unsigned short d = 0xFF000;

    l + d . // 0x00000031 + 0xFF00 = 0x00000031 + 0x0000FF00 = 0x0000FF31

    Деление (математика)

    Деле́ние (операция деления) — одно из четырёх простейших арифметических действий, обратное умножению. Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое. Существует несколько символов, используемых для обозначения оператора деления.

    Подобно тому, как умножение заменяет неоднократно повторенное сложение, деление заменяет неоднократно повторенное вычитание.

    Рассмотрим, например, такой вопрос:

    Сколько раз 3 содержится в 14?

    Повторяя операцию вычитания 3 из 14, мы находим, что 3 «входит» в 14 четыре раза, и ещё «остаётся» число 2.

    В этом случае число 14 называется делимым, число 3 — делителем, число 4 — (неполным) частным и число 2 — остатком (от деления).

    Результат деления также называют отношением.

    Содержание

    Деление натуральных чисел

    Кольцо целых чисел не замкнуто относительно деления. Простым языком это означает то, что результат деления одного целого числа на другое может быть не целым. В случае, если всё-таки результат является целым числом, говорят о делении без остатка.

    Деление чисел издавна считалось самой трудной из арифметических операций. В Средние века «секрет» деления знало не очень много посвящённых людей. Происходило это потому, что существовавшие алгоритмы деления были очень громоздки, сложны для исполнения и запоминания (например, деление в виде корабля (англ.) ). Появление деления столбиком радикально изменило эту ситуацию — теперь деление входит в раннюю школьную программу по математике наряду с остальными арифметическими действиями. Однако так же, как и в случае с умножением (см. быстрое умножение), в последнее время открыты более эффективные алгоритмы (см. en:Division (digital), применяющиеся в вычислительной технике.

    Существуют правила, позволяющие быстро определить, делится ли число на заданный делитель без остатка (признаки делимости). Наиболее известные признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 25 и их производные, также существует признаки делимости на 7, 13, 1001 и другие числа.

    Целое число, на которое одновременно делятся без остатка несколько чисел, называется их общим делителем.

    Определение количества делителей натурального числа приводит к двум важным понятиям: составное и простое число. У простого числа есть ровно два различных делителя — 1 и само число. У составных чисел различных делителей больше двух. 1 не является ни составным, ни простым числом.

    В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, можно говорить о делении с остатком. Рассмотрение остатков, их сравнение и формализация в виде вычетов привели к целой науке — теории чисел.

    Обычно на остаток накладываются следующие ограничения (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён):

    , ,

    где — делимое, — делитель, — частное и — остаток.

    Деление целых чисел

    Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел — достаточно поделить их модули и учесть правило знаков.

    Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае, (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, с остатком (-1)); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается и ограничения заимствуются из натуральных чисел:

    .

    Деление рациональных чисел

    Замыкание множества целых чисел по операции деления приводит к расширению его до множества рациональных чисел. Это приводит к тому, что результатом деления одного целого числа на другое всегда является рациональное число. Более того, полученные числа (рациональные) уже полностью поддерживают операцию деления (замкнуты относительно неё).

    Правило деления обыкновенных дробей:

    Деление вещественных чисел

    Деление также замкнуто в поле ненулевых вещественных чисел. Дедекиндово сечение позволяет однозначно определить результат деления.

    Деление комплексных чисел

    Комплексные числа опять замкнуты относительно операции деления.

    • В алгебраической форме результат можно получить путём домножения на сопряжённое число:

    . Результат определён для всех

    • В экспоненциальной форме легче всего получить результат:

    . Видно, что при этом модули делятся, а аргументы вычитаются.

    • Аналогично в тригонометрической форме:

    .

    Деление в алгебре

    В отличие от простейших арифметических случаев на произвольных множествах и структурах деление может быть не только не определено, но и обладать множественностью результата.

    Обычно в алгебре деление вводится через понятие единичного и обратного элементов. Если единичный элемент вводится однозначным образом (обычно аксиоматически или по определению), то обратный элемент часто может быть как левым (), так и правым (). Эти два обратных элемента могут по отдельности существовать или не существовать, равняться или не равняться друг другу.

    К примеру, отношение матриц определяется через обратную матрицу, при этом даже для квадратных матриц может быть:

    .

    Отношение тензоров в общем случае не определено.

    Деление многочленов

    В общих чертах оно повторяет идеи деления натуральных чисел, ибо натуральное число есть не что иное, как значения многочлена, у которого коэффициенты — цифры, а вместо переменной стоит основание системы счисления:

    .

    Поэтому аналогично определяются: частное, делитель, делимое и остаток (с той лишь разницей, что ограничение накладывается на степень остатка). Поэтому к делению многочленов также применимо деление столбиком.

    Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя.

    Деление на ноль

    По правилам стандартной арифметики деление на число 0 запрещено.

    Другое дело — деление на бесконечно малую функцию или последовательность. Деление конечных функций на бесконечно малые приводит к появлению бесконечно больших, а отношение двух бесконечно малых называется неопределённостью 0/0, которую можно преобразовать (см. раскрытие неопределённостей) с тем, чтобы получить определённый результат.

    Как следует из определения операции деления, результатом операции 0:0 может считаться любое действительное число, таким образом, значение операции 0:0 неопределенно и задача деления нуля на нуль имеет бесчисленное множество решений. [1] . Это не соответствует стандартному определению бинарной операции, согласно которому результатом операции с двумя числами может быть только единственное значение.

    Операции деления ненулевого числа на ноль не соответствует никакое действительное число.

    Результат этой операции считается бесконечно большим и равным бесконечности:
    , где
    Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным a или приближается к нему, то частное неограниченно увеличивается(по модулю).

    Поскольку бесконечность не является действительным числом, то такая операция выходит за пределы алгебры действительных чисел, если бинарная операция в ней определяется как . .